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Des interférences pour révéler la géométrie cachée des structures de bandes électroniques


La structure de bande électronique se compose du spectre en énergie mais aussi des fonctions d’onde associées. Un interféromètre de Stückelberg permet de sonder à la fois le spectre (ce qui était connu) et la géométrie des fonctions d’onde. Ceci devrait permettre de distinguer un isolant trivial d’un isolant topologique.

La théorie des bandes a immédiatement suivi le développement de la mécanique quantique (1925-1930). Elle a permis de classer les cristaux en isolants ou conducteurs (métaux) en fonction de leur spectre en énergie – organisé en bandes d’énergie permise séparées par des bandes interdites – et de son remplissage en électrons. Si le niveau de Fermi, qui caractérise ce remplissage, est dans une bande permise, c’est un métal ; s’il tombe dans un gap (une bande interdite entre deux bandes permises), c’est un isolant. Un des enseignements principaux de la découverte récente du graphène (2004) et des isolants topologiques est que le spectre des bandes d’énergie n’est pas une information suffisante pour décrire complètement les propriétés électroniques d’un cristal. La théorie des bandes nécessite d’être raffinée. En effet la structure de bande complète se compose du spectre en énergie et des fonctions d’onde. Une information essentielle est contenue dans les fonctions d’onde, qui ne transparaît pas dans le spectre. Un exemple de caractéristique globale de ces fonctions d’onde associés aux bandes est ce qu’on appelle le nombre de Chern. Il permet de classer plus finement les isolants de bande entre isolants triviaux (i.e. à nombre de Chern nul) et isolants topologiques (i.e. à nombre de Chern entier non-nul). Dans ce deuxième cas, il y a inévitablement des états conducteurs, uniquement sur les bords de l’échantillon.

En collaboration avec des théoriciens du LPTMC Paris et de l’Institut d’Optique de Palaiseau, nous avons récemment proposé de mesurer ces propriétés topologiques ou géométriques avec des atomes froids dans un réseau optique réalisant un « cristal artificiel » de type graphène. L’idée est d’utiliser un interféromètre dit de Stückelberg. C’est l’analogue atomique du célèbre interféromètre optique de Mach-Zehnder. Il se compose de deux séparateurs de faisceau (beam splitter) et de deux bras ou chemins : le premier séparateur de faisceau scinde l’onde de matière (i.e. l’atome) en deux, qui évolue ensuite suivant les deux chemins avant d’être recombinée au deuxième séparateur de faisceau. Dans le cas d’un interféromètre de Stückelberg, les deux chemins sont deux bandes d’énergie (voir figure a) et les séparateurs de faisceau sont des croisements évités entre bandes où le gap est minimal : un atome peut sauter à travers un gap par effet tunnel (dit de Landau-Zener). Dans un interféromètre de Stückelberg, un atome interfère avec lui même en ayant la possibilité de passer par deux chemins pour aller de la bande de valence à la bande de conduction du cristal artificiel. Lors de son trajet sur les deux bandes, il acquiert une différence de phase( dite géométrique) qui dépend notamment de caractéristiques topologiques des bandes (telles que le nombre de Chern). L’interféromètre permet de mesurer cette phase géométrique.


Figure : (a) Relation de dispersion (énergie E en fonction de l’impulsion px) présentant deux croisements évités (D et D’) quand β=0 ou π/2. Un atome (en rouge) passe dans l’interféromètre de Stückelberg. (b) Relation de dispersion quand β=π/4. Le gap s’est fermé en D’. (c) Probabilité de détecter l’atome dans la bande de conduction en fonction de la distance d entre les deux croisements évités et du paramètre β. Les franges brillantes sont en opposition de phase de part et d’autre de la valeur β=π/4, révélant une phase géométrique de π.

 

Un modèle jouet (voir figure) permet d’illustrer ces concepts sur un cas simple. Il s’agit d’une structure de bande unidimensionnelle qui dépend de manière continue d’un paramètre de contrôle β permettant de passer d’une phase isolante triviale à une phase isolante topologique via une phase (semi-)métallique à la transition (voir figure c). La relation de dispersion (énergie en fonction de l’impulsion) typique présente deux bandes séparées d’un gap (voir figure a) sauf quand β=π/4 (voir figure b) qui marque la transition de phase. Ce gap est minimal en deux points D et D’. Les deux croisements évités (D et D’) servent de séparateur de faisceau pour un atome incident (en rouge) depuis la bande de valence. L’atome peut alors emprunter deux chemins (en bleu ou en vert) pour aller de la bande de valence à la bande de conduction à travers D et D’, ce qui donne lieu à des interférences de Stückelberg dans la probabilité de détecter l’atome dans la bande de conduction. Dans la figure c sont représentées ces interférences en fonction de la distance d entre D et D’ et du paramètre β. On voit que les franges brillantes à β=0 et à β=π/2 sont en opposition de phase bien que le spectre en énergie soit identique (voir figure a). C’est une signature de la phase géométrique qui ici vaut π. A β=π/4, il n’y a plus d’interférences car seul le chemin vert permet d’aller de la bande de valence à la bande de conduction et le contraste des franges s’annule.

 

Contact :
Jean-Noël Fuchs

Référence :
Mass and chirality inversion of a Dirac cone pair in Stückelberg interferometry
Lih-King Lim, Jean-Noël Fuchs et Gilles Montambaux
Phys. Rev. Lett. 112, 155302 (2014).