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La chaîne de spins de Haldane, prototype d’un état topologique


D’une manière provocatrice, on pourrait énoncer l’aspect inédit du résultat obtenu par Haldane sous la forme 0+1=1/2.
Lorsque deux spins "classiques", que l’on peut voir comme des vecteurs à trois composantes de longueur unité, interagissent antiferromagnétiquement, l’état de plus basse énergie est obtenu s’ils pointent antiparallèlement l’un à l’autre. Pour simplifier, disons que l’un pointe vers le bas et l’autre vers le haut. Ceci s’étend au cas d’un nombre pair de spins régulièrement espacés sur une chaine fermée, en interactions de plus proches voisins. Imaginons alors que l’on retire un spin d’un site quelconque. Si celui-ci pointait "vers le bas (le haut)" les deux voisins, de longueur unité, pointent "vers le haut (le bas)". Cette propriété se comprend comme la conséquence de l’ordre alterné des spins sur la chaine.
Si l’on considère à présent des spins "quantiques" de longueur S=1, on observe deux phénomènes qualitativement nouveaux. En l’absence du défaut, il n’y a pas d’ordre alterné sur de grandes distances. Néanmoins, si l’on retire le spin d’un site quelconque, on constate que, de part et d’autre de l’impureté et dans son voisinage immédiat, on a un spin de longueur 1/2. L’aspect remarquable est que les deux spins 1/2 pointent dans la même direction : en dépit de l’absence d’ordre alterné sur de grandes distances, ceux-ci "gardent la mémoire" de l’ordre, quelle que soit la taille de la chaine.
La chaine fermée avec l’impureté est équivalente à une chaine ouverte aux deux extrémités. L’état aux deux bords est donc totalement différent de celui qui prévaut au sein de la chaine et il corrèle complètement les deux spins 1/2. Ces propriétés sont caractéristiques d’un état topologique.

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