Certaines propriétés topologiques des matériaux comme les « winding numbers » (nombres d’enroulement), même si elles sont une caractéristique plutôt abstraite de la structure des bandes électroniques, peuvent être observées expérimentalement sur des échantillons de taille mésoscopique.
Dans une collaboration avec une équipe à USC, nous avons étudié dans ce contexte un quasicristal unidimensionnel, la chaîne de Fibonacci. Nous avons montré que l’effet de proximité induit un paramètre d’ordre supraconducteur présentant des oscillations dont les période principales sont les winding numbers associés aux principaux gaps spectraux. Ces nombres sont liés au nombres de Fibonacci, introduits par Leonardo de Pisa au 18ème siécle, eux-mêmes liés au nombre d’or, τ =(1+ √5 )/2 . Les chaînes de Fibonacci sont des alignement d’atomes tels que la distance entre proches voisins est, soit « L » (pour longue) soit « S » (pour short ), suivant une séquence connue 1[Deux chaînes Cn-1 and Cn-2 peuvent être combinées (concatenation) pour former une chaîne plus longue Cn = Cn-1 ◦ Cn-2 : Si on commence avec C0=L and C1=L, on obtient une série de chaînes : L, S, LS, LSL, LSLLS etc. Les longueurs de ces chaînes sont 1,1,2,3,5 … soit les nombres de Fibonacci donnés par la formule de recursion Fn=Fn-1+Fn-2 1]. Fait assez étonnant, on a pu observer ce type d’alignement d’atomes dans des couches minces obtenues par dépôt d’atomes (la fig. 1b montre des rangées espacées quasi périodiquement d’atomes de Cu sur une surface d’un quasicristal). Lorsqu’une telle chaîne est placée en contact avec un matériau supraconducteur comme le Pb (dans une géométrie indiquée dans la fig.1a), la supraconductivité se propage vers l’intérieur de la chaîne. Pour une distance fixe, et en fonction d’un certain angle de phase 2En variant l’angle de phase f entre 0 et 2π on peut obtenir les N séquences de Fibonacci qui correspondent à une longueur donnée N. Dans leur experience pionnière sur les états de bord dans un quasicrystal photonique Tanese et al (Phys.Rev.Lett. 112 146404 (2014)) ont fabriqué la série complete de chaînes pour N=233[2], nous avons montré que le paramètre d’ordre devrait présenter des oscillations de période q=17,9,4,… La fig.1c montre les résultats pour deux chaines de longueur différentes. La figure 1d montre la densité d’états avec les winding numbers des gaps les plus proches de E=0. On peut constater qu’ils correspondent aux périodes présentes dans les oscillations de la figure 1b. L’explication de ces oscillations que nous proposons est la suivante : les états de bord correspondant aux gaps près du niveau de Fermi, ici E=0, changent de bord q fois par cycle, et contribuent autant de fois au paramètre d’ordre local défini sur un site donné, lors de leur passage.
Figure 1. a) Une boucle formée à partir d’une chaîne de Fibonacci et un supraconducteur b) Image STM d’atomes de Cu sur une surface de AlPdMn, montrant la sequence de Fibonacci (McGrath et al, https://doi.org/10.1098/rsta.2011.0220) c) Oscillations du parameter d’ordre superconducteur calculé sur le site du milieu pour deux chaînes de Fibonacci d) La densité d’états intégrée, montrant les gaps principaux et leurs winding numbers près du niveau de Fermi E=0
[1] Deux chaînes Cn-1 and Cn-2 peuvent être combinées (concatenation) pour former une chaîne plus longue Cn = Cn-1 ◦ Cn-2 : Si on commence avec C0=L and C1=L, on obtient une série de chaînes : L, S, LS, LSL, LSLLS etc. Les longueurs de ces chaînes sont 1,1,2,3,5 … soit les nombres de Fibonacci donnés par la formule de recursion Fn=Fn-1+Fn-2
[2] En variant l’angle de phase f entre 0 et 2π on peut obtenir les N séquences de Fibonacci qui correspondent à une longueur donnée N. Dans leur experience pionnière sur les états de bord dans un quasicrystal photonique Tanese et al (Phys.Rev.Lett. 112 146404 (2014)) ont fabriqué la série complete de chaînes pour N=233.
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Référence
Proximity effect in a superconductor-quasicrystal hybrid ring
Gautam Rai, Stephan Haas, Anuradha Jagannathan
Physical Review B 100, 165121 (2019)
doi:10.1103/PhysRevB.100.165121
